Question

4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，4），过点B作直线l平行x轴，点P在直线l上运动．设点P的横坐标为a，记点B关于直线OP的对称点为B′，若点B′落在△OAP内部（不包括边上），则a的取值范围为2＜a＜4．

Answer 1

分析 根据点P在直线l上运动，从左到右依次画图讨论，发现分五种情况：：①当点P在点B的左侧运动时，如图1，②当点P与B重合时，点B′也与B重合，此时B′在△OAP的边上，③当点P继续从B点向右运动时，如图2，点B关于直线OP的对称点为B′在△OAP外部，通过画图得这三种情况不符合题意；
④当点B关于直线OP的对称点为B′在△OAP的边AP上时，如图3，作辅助线计算a=2，虽然此种情况不符合条件，但从这一点开始继续向右运动，点B′在△OAP内部，一直到第⑤种情况为止，都满足条件，由此可得
a的取值范围．

解答 解：①当点P在点B的左侧运动时，如图1，点B关于直线OP的对称点为B′在△OAP外部，此种情况不符合题意；
②当点P与B重合时，点B′也与B重合，此时B′在△OAP的边上，此种情况不符合题意；
③当点P继续从B点向右运动时，如图2，点B关于直线OP的对称点为B′在△OAP外部，此种情况不符合题意；
④当点B关于直线OP的对称点为B′在△OAP的边AP上时，
如图3，过A作AC⊥PB于C，
此时，PB=a，OB=4，OA=5，
则AC=OB=4，PC=5-a，
∵点B关于直线OP的对称点为B′，
∴OP是BB′的垂直平分线，
∴PB=PB′=a，OB=OB′=4，
∵OP=OP，
∴△BOP≌△B′OP，
∴∠OB′P=∠OBP=90°，
在Rt△AOB′中，AB′=$\sqrt{O{A}^{2}-OB{′}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
由勾股定理得：4²+（5-a）²=（a+3）²，
a=2；
⑤当PB=4时，△OBP为等腰直角三角形，点B关于直线OP的对称点为B′在OA上，如图4，
此时a=4，
综上所述，a的取值范围为：2＜a＜4；
故答案为：2＜a＜4．

点评 本题是动点与轴对称变换问题，考查了轴对称的性质和坐标与图形的变化，明确轴对称的对应点连线被对称轴垂直平分，正确根据点的坐标写出线段的长，本题利用数形结合的思想解决问题，使答案更为准确．