Question

6．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点E在BC的延长线上，且∠EAC=∠B，以DE为直径的半圆交AD于点F，交AE于点M．
（1）判断AF与DF的数量关系，并说明理由．
（2）只用无刻度的直尺画出△ADE的边DE上的高AH（不要求写作法，保留作图痕迹）．
（3）若EF=8，DF=6，求DH的长．

Answer 1

分析 （1）AF=DF，理由是：求AE=DE，根据等腰三角形的性质求出即可；
（2）根据锐角三角形的三条高交于一点画出即可；
（3）证△ADH∽△EDF，得出比例式，代入求出即可．

解答 解：（1）AF=DF，
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵∠B=∠CAE，
∴∠BAD+∠B=∠CAD+∠CAE．
即∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，
∵DE是直径，
∴EF⊥AD，
∴AF=DF；

（2）如图：连接DM，DM交EF于G，作射线AG交DE于H，此时AH是高．

（3）在△EFD中，EF=8，DF=6，由勾股定理得，DE=AE=10，
∵AH是DE边上的高，
∴∠AHD=90°，
∵∠EFD=90°，
∴∠AHD=∠EFD，
∵∠ADH=∠EDF，
∴△ADH∽△EDF，
∴$\frac{DH}{DF}$=$\frac{AD}{DE}$，
∴$\frac{DH}{6}$=$\frac{12}{10}$，
解得DH=$\frac{36}{5}$．

点评 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，难度适中．