Question

如图1是一个供滑板爱好者滑行使用的U型池，图2是该U型池的横截面（实线部分）示意图，其中四边形AMND是矩形，弧AmD是半圆．
（1）若半圆AmD的半径是4米，U型池边缘AB=CD=20米，点E在CD上，CE=4米，一滑板爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离（结果可保留根号）；
（2）若U型池的横截面的周长为32米，设AD为2x，U型池的强度为y，已知U型池的强度是横截面的面积的2倍，当x取何值时，U型池的强度最大？

Answer 1

分析：（1）将U型池滑道的平面展开图为长方形，根据弧长的公式和勾股定理可以求出滑行的最短距离．
（2）根据等量关系“U型池的强度是横截面的面积的2倍”，列出函数关系式，求出U型池的强度最大时的x值．

解答：解：（1）如图是滑道的平面展开图
在Rt△EDA中，半圆AmD的弧长=4π，ED=20-4=16（2分）
滑行的最短距离AE=

162+(4π)2

=4

16+π2

（3分）

（2）∵AD为2x∴半圆AmD的半径为x，则半圆AmD的弧长为πx
∴32=2x+2AM+πx
∴AM=-

2+π

2

x+16（0＜x＜

32

4+π

）（4分）
∴y=2[2x（5分）
∴当x=-

64

2[-(3π+4)]

=

32

3π+4

时，U型池强度最大
所以当x=

32

3π+4

时，U型池强度最大（6分）
注：AM=-

2+π

2

x+16（0＜x＜

32

4+π

）中无自变量范围不扣分．

点评：求滑行的最短距离，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．同时考查了二次函数的最值问题．