【题目】如图,在等边△ABC中,AB=BC=AC=6cm,点P从点B出发,沿B→C方向以1.5cm/s的速度运动到点C停止,同时点Q从点A出发,沿A→B方向以1cm/s的速度运动,当点P停止运动时,点Q也随之停止运动,连接PQ,过点P作BC的垂线,过点Q作BC的平行线,两直线相交于点M.设点P的运动时间为x(s),△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y(cm2)(规定:线段是面积为0的图形).
(1)当x= (s)时,PQ⊥BC;
(2)当点M落在AC边上时,x= (s);
(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
【答案】(1)1.5;(2)3;(3)
【解析】
(1)令PQ⊥BC,表示出BP和BQ的长,利用余弦的定义得出方程,求解即可;
(2)根据△ABC是等边三角形得出BQ=CM,表示出PC的长,结合余弦的定义得出方程,求解即可;
(3)根据(1)和(2)中结论,分0≤x<1.5时,1.5≤x≤3时,3<x≤4时三种情况画出图形,求出相应边长,可得函数解析式.
解:(1)当PQ⊥BC时,
BP=1.5x,BQ=6-x,
∴BQ=,即6-x=,
∴6-x=3x,
解得:x=1.5,
∴当x=1.5时,PQ⊥BC;
(2)∵△ABC是等边三角形,QM∥BC,
∴AQ=AM,BQ=CM,
PC=6-1.5x,CM=,
∴BQ=12-3x,AQ=x,
∴12-3x+x=6,
解得x=3,
∴当点M落在AC上时,x=3(s);
(3)当0≤x<1.5时,过Q作QE⊥BC于E,
∵BQ=6-x,
∴QE=BQsin∠B=BQsin60°,而DP=BPtan∠B=BPtan60°,
y=S△BPQ-S△BPD
=
=
=;
当1.5≤x≤3时,过点Q作QD⊥BC于D,
可知:四边形QDPM为矩形,
∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°,
PM=MC·sin60°=BQ·sin60°,
则y=S△PQM
=
=
=;
当3<x≤4时,
如图所示,过点Q作QE⊥BC于点E,
可知四边形QEPM为矩形,
∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan∠B=1.5x-(6-x)=2x-3,
∵QM∥BC,
∴△AQO为等边三角形,∠MON=∠C=60°,
∴AQ=OQ=AO=x,
∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3,
∵PC=6-1.5x,∠C=60°,
∴NP=PC·tan∠C= PC·tan60°=,
∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·sin∠B-NP=(6-x)·sin60°-=,
y=S△PQM-S△NOM
=
=-(x-3)()
=
故y关于x的函数解析式为.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等边三角形,点D在边AB上.
(1)如图1,当点E在边BC上时,求证DE=EB;
(2)如图2,当点E在△ABC内部时,猜想ED和EB数量关系,并加以证明;
(3)如图3,当点E在△ABC外部时,EH⊥AB于点H,过点E作GE∥AB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=3.求CG的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4),请解答下列问题:
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标.
(2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标.
【答案】(1)作图见解析;点A1的坐标(2,﹣4);(2)作图见解析;点A2的坐标(﹣2,4).
【解析】
试题分析:(1)分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点,再顺次连接,然后根据图形写出A点坐标;
(2)将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后,得到相应的对应点A2、B2、C2,连接各对应点即得△A2B2C2.
试题解析:(1)如图所示:点A1的坐标(2,﹣4);
(2)如图所示,点A2的坐标(﹣2,4).
考点:1.作图-旋转变换;2.作图-轴对称变换.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律:
(1)认真观察,并在④后面的横线上写出相应的等式.
①1=1 ②1+2==3 ③1+2+3==6 ④ …
(2)结合(1)观察下列点阵图,并在⑤后面的横线上写出相应的等式.
1=12②1+3=22③3+6=32④6+10=42⑤ …
(3)通过猜想,写出(2)中与第n个点阵相对应的等式 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=﹣x+5的图象与函数y=(k<0)的图象相交于点A,并与x轴交于点C,S△AOC=15.点D是线段AC上一点,CD:AC=2:3.
(1)求k的值;
(2)根据图象,直接写出当x<0时不等式>﹣x+5的解集;
(3)求△AOD的面积.
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【题目】如图,矩形中,,,点在边上,与点、不重合,过点作的垂线与的延长线相交于点,连结,交于点.
(1)当为的中点时,求的长;
(2)当是以为腰的等腰三角形时,求.
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【题目】每到春夏交替时节,杨树的杨絮漫天飞舞,易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们生活造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(调查问卷如下),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图:
调查问卷
治理杨絮:您选哪一项? (每人只选一项)
A.减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量;
B.调整树种结构,逐渐更换现有杨树;
C.选育无絮杨品种,并推广种植;
D.对杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮;
E.其他.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)在扇形统计图中,求扇形的圆心角度数;
(2)补全条形统计图;
(3)若该市约有万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.
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【题目】如图,正方形ABCD中,E为AB上一点,AF⊥DE于点F,已知DF=5EF=5,过C、D、F的⊙O与边AD交于点G,则DG=( )
A.2B.C.D.
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【题目】为了扎实推进精准扶贫工作,某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施,每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施,现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户.为检査帮扶措施是否落实,随机抽取了若干贫困户进行调查,现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图:
请根据图中信息回答下面的问题:
(1)本次抽样调查了多少户贫困户?
(2)抽查了多少户C类贫困户?并补全统计图;
(3)若该地共有13000户贫困户,请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户?
(4)为更好地做好精准扶贫工作,现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶,请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率.
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【题目】如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(﹣2,2),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上,则t的值是________.
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