Question

19．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（-1，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB面积相等时，求点D的坐标；
（3）点P在线段AM上，过点P作x轴的垂线，垂足为E，设点P的横坐标为m，四边形PEBC的面积为s，请求出s与m的函数关系式，并求面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用顶点式求二次函数的解析式；
（2）设D（-1，y），分两种情况：当D在点N的下方和上方时，DN的值不同，分别表示出来，利用等量关系△ACD与△ACB面积相等，代入计算即可；
（3）把四边形PEBC的面积分成三个三角形的面积，先求直线AM的解析式，利用解析式表示点P的坐标，表示出三个三角形对应的底和高，代入面积公式进行计算，并配方求顶点坐标，注意其m的取值．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）²+4，
把（0，3）代入得：3=a（0+1）²+4，
a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3；
（2）当y=0时，0=-x²-2x+3，
x²+2x-3=0，
解得：x=-3或1，
∴A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，3），
∴OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
设对称轴与AC的交点为N，直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=x+3，
当x=-1时，y=2，
∴N（-1，2），
设D（-1，y），
分两种情况：
①当D在点N的下方时，如图1，DN=2-y，
S_△ADC=$\frac{1}{2}$DN•OA=$\frac{1}{2}$×（2-y）×3=6，
∴y=-2，
∴D（-1，-2），
②当D在点N的上方时，如图2，DN=y-2，
S_△ADC=$\frac{1}{2}$DN•OA=$\frac{1}{2}$×（y-2）×3=6，
∴y=6，
∴D（-1，6），
综上所述，点D的坐标为（-1，-2）或（-1，6）；
（3）如图3，设直线AM的解析式为：y=kx+b，
把A（-3，0），M（-1，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为：y=2x+6，
由题意得：P（m，2m+6），
∴OE=-m，PE=2m+6，
连接OP，
S=S_△PEO+S_△POC+S_△BOC，
=$\frac{1}{2}$PE•OE+$\frac{1}{2}$OC•OE+$\frac{1}{2}$OC•OB，
=$\frac{1}{2}$（2m+6）•（-m）+$\frac{1}{2}$×3×（-m）+$\frac{1}{2}$×3×1，
S=-m²-$\frac{9}{2}$m+$\frac{3}{2}$=-（m+$\frac{9}{4}$）²+$\frac{105}{16}$，
∵点P在线段AM上，
∴-3≤m≤-1，
∴当m=-$\frac{9}{4}$时，S有最大值，最大值为$\frac{105}{16}$．

点评 本题考查了二次函数与坐标轴的交点、最值及利用待定系数法求解析式，明确与x轴垂直的直线上的两点的距离等于纵坐标差的绝对值，同时利用了不规则三角形面积等于水平宽与铅垂高积的一半，这一方法可以简化面积的求法，非常适用．