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16.如图,已知△ABC中,∠A=58°,如果:(1)O为外心;(2)O为内心;(3)O为垂心.分别求以上三种条件下的∠BOC的度数.

分析 (1)根据圆周角定理直接利用∠A的度数求得∠BOC的度数即可;
(2)根据O为△ABC的内心得到∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC,∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB,根据∠ABC+∠ACB=180°-∠A=122°得到$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=61°,从而求得∠OBC+∠OCB=61°,进一步求得∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=119°;
(3)延长AO、BO、CO分别交三边于点D、E、F,根据垂心的定义得到AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB,从而得到∠BOD=∠ACB,∠COD=∠ABC,求得∠BOC=∠ACB+∠ABC=180°-∠A=122°.

解答 解:(1)∵点O为△ABC的外心,
∴由圆周角定理得:∠BOC=2∠A=2×58°=116°;

(2)∵O为△ABC的内心,
∴∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC,∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=122°,
∴$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=61°,
即∠OBC+∠OCB=61°,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=119°;

(3)如图所示,延长AO、BO、CO分别交三边于点D、E、F,
则AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠BOD=∠ACB,∠COD=∠ABC,
∴∠BOC=∠ACB+∠ABC=180°-∠A=122°.

点评 本题考查了三角形的五心的知识及三角形的内切圆与内心,三角形得出外接圆与外心,三角形内角和定理,圆周角定理的应用,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.

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(1)求AB的长;
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为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论:
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李明:因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系,那么,(12,36)表示当AP=12时,AP的长与矩形APQR面积的对应关系.
赵明:对,我知道纵坐标36是什么意思了!
孔明:哦,这样就可以算出AB,这个问题就可以解决了.
请根据上述对话,帮他们解答这个问题.

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