Question

【题目】我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，其逆命题也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角为”.如图，在中，，如果，那么.

请你根据上述命题，解决下面的问题：

（1）如图1，，为格点，以为圆心，长为半径画弧交直线于点，则______；

（2）如图2，、为格点，按要求在网格中作图（保留作图痕迹）。

作，使点在直线上，并且，.

（3）如图3，在中，，，为内一点，，于，且.

①求的度数；

②求证：.

Answer 1

【答案】（1）30；（2）见解析；（3）①30°；②见解析.

【解析】

（1）如图1中，作CF⊥AB于F．由作图可知：AC=AB=2CF，即可推出∠CAB=30°．
（2）以D为圆心，DF长为半径画弧交直线a于点G，连接FG交直线l于E，连接DE，△DEF即为所求．
（3）①根据AC=2CE，推出∠CAE=30°．
②作DH⊥BC，想办法证明BH=CH即可解决问题．

（1）如图1中，作CF⊥AB于F．
由作图可知：AC=AB=2CF，
∴∠CAB=30°，
故答案为30．

（2）如图△DEF即为所求．
（3）①∵CE⊥AD于E，且CE=AC
∴∠CAD=30°
②作DH⊥BC于H．

∵∠AEC=90°，∠CAE=30°
∴∠ACE=60°，
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠DCF=∠DCH=15°，
∵∠CED=∠CHD=90°，CD=CD，
∴△CDE≌△CDH（AAS），
∴CE=CH=AC=BC，
∴BH=CH，∵DH⊥BC，
∴DB=DC．