Question

如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．
（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；
（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．

Answer 1

分析：（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；
（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．

解答：（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．
因为CE⊥AB，P是BF的中点，
所以△BEF是直角三角形，且
PE是Rt△BEF斜边的中线，
所以PE=

1

2

BF．
又因为AD⊥BC，
所以△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，
所以PD=

1

2

BF=PE，
所以点P在线段DE的垂直平分线上．
同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，
所以QD=

1

2

AC=QE，
所以点Q也在线段DE的垂直平分线上．
所以直线PQ垂直平分线段DE．

（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．
如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．
原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．

求证：直线PQ垂直且平分线段DE．
证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，
所以PD=

1

2

BF，PE=

1

2

BF，
所以PD=PE，
点P在线段DE的垂直平分线上．
同理可证QD=QE，
所以点Q在线段DE的垂直平分线上．
所以直线PQ垂直平分线段DE．

点评：此题考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．