Question

如图1，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为B，AC交⊙O于点D．
（1）用尺规作图：过点D作DE⊥BC，垂足为E（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，求证：△BED∽△DEC；
（3）若点D是AC的中点（如图2），求sin∠OCB的值．

Answer 1

分析：（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法进行求作；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，则∠CDB=∠ADB=90°，再根据等角的余角相等，证明∠C=∠EDB，从而根据两角对应相等，就可证明三角形相似；
（3）在Rt△OBC中，只要找到OB与OC的关系即可．由于∠ADB=90°，D是AC的中点，所以BD垂直平分AC，则BC=AB=2OB；设OB=k，则BC=2k，根据勾股定理求得OC的长，从而求解．

解答：（1）解：如图，


（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∴∠CDE+∠EDB=90°．
又∵DE⊥BC，
∴∠CED=∠DEB=90°，
∴∠CDE+∠C=90°．
∴∠C=∠EDB．
∴△BED∽△DEC．

（3）解：∵∠ADB=90°，D是AC的中点，
∴BD垂直平分AC．
∴BC=AB=2OB．
设OB=k，则BC=2k，
∴OC=

k2+(2k)2

=

5

k．
∴sin∠OCB=

OB

OC

=

k

5 k

=

5

5

．

点评：此图综合考查了作垂线的方法、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及锐角三角函数的求法．