Question

【题目】△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACM．

（1）如图1，若∠BAC=50°，则∠BCM= ；

（2）如图2，在BC上取点E，使∠DAE=∠BAC，求证：DE＜BD+EC；

（3）如图3，在（2）的条件下，若∠BAC=90°，BD=1，EC=2，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）∠BCM=130°；（2）证明见解析；（3）DE=．

【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=65°，再由旋转的性质得到∠ACM=∠B，即可得到结论．

（2）连接EM．由旋转的性质得到AD=AM，∠BAD=∠MAC，进而有∠DAM=∠BAC．由SAS证明△ADE≌△AME，得到ME=DE．再由三角形三边关系即可得到结论；

（3）连接EM．可得到三角形ECM为直角三角形，由勾股定理可求出EM的长，进而得到DE的长．

试题解析：解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠BAC=50°，∴∠B=∠C=(180°-50°)÷2=65°．∵∠ACM=∠B，∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=65°+65°=130°．

（2）连接EM．∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACM，∴AD=AM，∠BAD=∠MAC，

∴∠BAD+∠DAC=∠MAC+∠DAC，即∠DAM=∠BAC．

∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE=∠DAM，∴∠DAE=∠MAE ．

∵AE=AE，∴△ADE≌△AME（SAS），∴ME=DE．

∵ME<MC+EC，MC=BD，∴DE<BD+EC．

（3）连接EM．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．

∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACM，∴CM=BD=1，∠ACM=∠B=45°， ∴∠ECM=90°．

∵EC=2， ∴ME=．由（2）知DE=ME，∴DE=．