Question

（2013•平阳县二模）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AD交AC于点E，EF⊥BC于点F，若AB=4，BD=2，则CE的长为（　　）

• A．2
• B．

  5

  3

• C．

  3

  2

• D．

  4

  3

Answer 1

分析：先利用勾股定理计算出AD=2

5

，再根据相似三角形的判定易得Rt△ABD∽Rt△ADE，运用相似比可计算出DE=

5

，AE=5；然后利用等角的余角相等得到∠ADB=∠DEF，于是可判断Rt△ADB∽Rt△DEF，运用相似比可计算出EF，接着由EF∥AB得到△CEF∽△CAB，再根据相似比可计算出CE．

解答：解：∵∠B=90°，AB=4，BD=2，
∴AD=

AB2+BD2

=2

5

，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴Rt△ABD∽Rt△ADE，
∴

AB

AD

=

BD

DE

=

AD

AE

，即

4

2 5

=

2

DE

=

2 5

AE

，
∴DE=

5

，AE=5，
∵EF⊥DF，
∴∠DFE=90°，
∴∠EDF+∠DEF=90°，
而∠ADB+∠EDF=90°，
∴∠ADB=∠DEF，
∴Rt△ADB∽Rt△DEF，
∴

BD

EF

=

AD

DE

，即

2

EF

=

2 5

5

，解得EF=1，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴

CE

CA

=

EF

AB

，即

CE

CE+5

=

1

4

，
∴CE=

5

3

．
故选B．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理．