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【题目】如图,抛物线yax2+bxa0)过点E80),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧),点CD在抛物线上,∠BAD的平分线AMBC于点M,点NCD的中点,已知OA2,且OAAD13.

1)求抛物线的解析式;

2FG分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接MNGF构成四边形MNGF,求四边形MNGF周长的最小值;

3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使△ODPOD边上的高为?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

4)矩形ABCD不动,将抛物线向右平移,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点KL,且直线KL平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.

【答案】1yx24x;(2)四边形MNGF周长最小值为12;(3)存在点PP坐标为(6,﹣6);(4)抛物线平移的距离为3个单位长度.

【解析】

1)由点Ex轴正半轴且点A在线段OE上得到点Ax轴正半轴上,所以A20);由OA2,且OAAD13AD6.由于四边形ABCD为矩形,故有ADAB,所以点D在第四象限,横坐标与A的横坐标相同,进而得到点D坐标.由抛物线经过点DE,用待定系数法即求出其解析式;(2)画出四边形MNGF,由于点FG分别在x轴、y轴上运动,故可作点M关于x轴的对称点点M',作点N关于y轴的对称点点N',得FMFM'GNGN'.易得当M'FGN'在同一直线上时N'G+GF+FM'M'N'最小,故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点MM'NN'坐标,即求得答案;(3)因为OD可求,且已知△ODPOD边上的高,故可求△ODP的面积.又因为△ODP的面积常规求法是过点PPQ平行y轴交直线OD于点Q,把△ODP拆分为△OPQ与△DPQ的和或差来计算,故存在等量关系.设点P坐标为t,用t表示PQ的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点Px轴下方的条件;(4)由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上,画出平移后的抛物线可知,点K由点O平移得到,点L由点D平移得到,故有Km0),L2+m-6.易证KL平分矩形面积时,KL一定经过矩形的中心H且被H平分,求出H坐标为(4,﹣3),由中点坐标公式即求得m的值.

1)∵点A在线段OE上,E80),OA2

A20

OAAD13

AD3OA6

∵四边形ABCD是矩形

ADAB

D2,﹣6

∵抛物线yax2+bx经过点DE

解得:

∴抛物线的解析式为yx24x

2)如图1,作点M关于x轴的对称点M',作点N关于y轴的对称点N',连接FM'GN'M'N'

yx24xx428

∴抛物线对称轴为直线x4

∵点CD在抛物线上,且CDx轴,D2,﹣6

yCyD=﹣6,即点CD关于直线x4对称

xC4+4xD)=4+426,即C6,﹣6

ABCD4B60

AM平分∠BAD,∠BAD=∠ABM90°

∴∠BAM45°

BMAB4

M6,﹣4

∵点MM'关于x轴对称,点Fx轴上

M'64),FMFM'

NCD中点

N4,﹣6

∵点NN'关于y轴对称,点Gy轴上

N'(﹣4,﹣6),GNGN'

C四边形MNGFMN+NG+GF+FMMN+N'G+GF+FM'

∵当M'FGN'在同一直线上时,N'G+GF+FM'M'N'最小

C四边形MNGFMN+M'N'=

∴四边形MNGF周长最小值为12.

3)存在点P,使△ODPOD边上的高为.

过点PPQy轴交直线OD于点Q

D2,﹣6

OD,直线OD解析式为y=﹣3x

设点P坐标为(tt24t)(0t8),则点Qt,﹣3t

①如图2,当0t2时,点P在点D左侧

PQyQyP=﹣3t﹣(t24t)=﹣t2+t

SODPSOPQ+SDPQPQxP+PQxDxP)=PQxP+xDxP)=PQxDPQ=﹣t2+t

∵△ODPOD边上的高h

SODPODh

∴﹣t2+t×2×

方程无解

②如图3,当2t8时,点P在点D右侧

PQyPyQt24t﹣(﹣3t)=t2t

SODPSOPQSDPQPQxPPQxPxD)=PQxPxP+xD)=PQxDPQt2t

t2t×2×

解得:t1=﹣4(舍去),t26

P6,﹣6

综上所述,点P坐标为(6,﹣6)满足使△ODPOD边上的高为.

4)设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点KL

KL平分矩形ABCD的面积

K在线段AB上,L在线段CD上,如图4

Km0),L2+m-6

连接AC,交KL于点H

SACDS四边形ADLKspan>S矩形ABCD

SAHKSCHL

AKLC

∴△AHK∽△CHL

==1

AHCHKH=HL,即点HAC中点,也是KL中点

H4,﹣3

m3

∴抛物线平移的距离为3个单位长度.

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说明:统计图1的百分数=×100%

统计图2的百分数=×100%

根据上面的文字和统计图提供的信息回答下列问题:

1)在这个问题中,总体指什么?样本容量是什么?

2)估计:在全国已建设校园网的中小学中:

①校园网建设时间在2003年以后(含2003年)的学校大约有多少所?

②校园网建设资金投入在200万元以上(不含200万元)的学校大约有多少所?

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