【题目】如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)过点E(8,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧),点C、D在抛物线上,∠BAD的平分线AM交BC于点M,点N是CD的中点,已知OA=2,且OA:AD=1:3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF,求四边形MNGF周长的最小值;
(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使△ODP中OD边上的高为?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)矩形ABCD不动,将抛物线向右平移,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L,且直线KL平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
【答案】(1)y=x2﹣4x;(2)四边形MNGF周长最小值为12;(3)存在点P,P坐标为(6,﹣6);(4)抛物线平移的距离为3个单位长度.
【解析】
(1)由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上,所以A(2,0);由OA=2,且OA:AD=1:3得AD=6.由于四边形ABCD为矩形,故有AD⊥AB,所以点D在第四象限,横坐标与A的横坐标相同,进而得到点D坐标.由抛物线经过点D、E,用待定系数法即求出其解析式;(2)画出四边形MNGF,由于点F、G分别在x轴、y轴上运动,故可作点M关于x轴的对称点点M',作点N关于y轴的对称点点N',得FM=FM'、GN=GN'.易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'=M'N'最小,故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标,即求得答案;(3)因为OD可求,且已知△ODP中OD边上的高,故可求△ODP的面积.又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PQ平行y轴交直线OD于点Q,把△ODP拆分为△OPQ与△DPQ的和或差来计算,故存在等量关系.设点P坐标为t,用t表示PQ的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件;(4)由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上,画出平移后的抛物线可知,点K由点O平移得到,点L由点D平移得到,故有K(m,0),L(2+m,-6).易证KL平分矩形面积时,KL一定经过矩形的中心H且被H平分,求出H坐标为(4,﹣3),由中点坐标公式即求得m的值.
(1)∵点A在线段OE上,E(8,0),OA=2
∴A(2,0)
∵OA:AD=1:3
∴AD=3OA=6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D(2,﹣6)
∵抛物线y=ax2+bx经过点D、E
∴
解得:
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x
(2)如图1,作点M关于x轴的对称点M',作点N关于y轴的对称点N',连接FM'、GN'、M'N'
∵y=x2﹣4x=(x﹣4)2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x=4
∵点C、D在抛物线上,且CD∥x轴,D(2,﹣6)
∴yC=yD=﹣6,即点C、D关于直线x=4对称
∴xC=4+(4﹣xD)=4+4﹣2=6,即C(6,﹣6)
∴AB=CD=4,B(6,0)
∵AM平分∠BAD,∠BAD=∠ABM=90°
∴∠BAM=45°
∴BM=AB=4
∴M(6,﹣4)
∵点M、M'关于x轴对称,点F在x轴上
∴M'(6,4),FM=FM'
∵N为CD中点
∴N(4,﹣6)
∵点N、N'关于y轴对称,点G在y轴上
∴N'(﹣4,﹣6),GN=GN'
∴C四边形MNGF=MN+NG+GF+FM=MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时,N'G+GF+FM'=M'N'最小
∴C四边形MNGF=MN+M'N'=
∴四边形MNGF周长最小值为12.
(3)存在点P,使△ODP中OD边上的高为.
过点P作PQ∥y轴交直线OD于点Q
∵D(2,﹣6)
∴OD=,直线OD解析式为y=﹣3x
设点P坐标为(t,t2﹣4t)(0<t<8),则点Q(t,﹣3t)
①如图2,当0<t<2时,点P在点D左侧
∴PQ=yQ﹣yP=﹣3t﹣(t2﹣4t)=﹣t2+t
∴S△ODP=S△OPQ+S△DPQ=PQxP+PQ(xD﹣xP)=PQ(xP+xD﹣xP)=PQxD=PQ=﹣t2+t
∵△ODP中OD边上的高h=,
∴S△ODP=ODh
∴﹣t2+t=×2×
方程无解
②如图3,当2<t<8时,点P在点D右侧
∴PQ=yP﹣yQ=t2﹣4t﹣(﹣3t)=t2﹣t
∴S△ODP=S△OPQ﹣S△DPQ=PQxP﹣PQ(xP﹣xD)=PQ(xP﹣xP+xD)=PQxD=PQ=t2﹣t
∴t2﹣t=×2×
解得:t1=﹣4(舍去),t2=6
∴P(6,﹣6)
综上所述,点P坐标为(6,﹣6)满足使△ODP中OD边上的高为.
(4)设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上,L在线段CD上,如图4
∴K(m,0),L(2+m,-6)
连接AC,交KL于点H
∵S△ACD=S四边形ADLK=span>S矩形ABCD
∴S△AHK=S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴==1,
∴AH=CH,KH=HL,即点H为AC中点,也是KL中点
∴H(4,﹣3)
∴
∴m=3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度.
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【题目】如图,BD是四边形ABCD的对角线,AB=BC=6,∠ABC=60°,点G1、G2分别是△ABD和△DBC的重心,则点G1、G2间的距离为_____.
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【题目】如图,等边△ABC的边长为2,点D是射线BC上的一个动点,以AD为边向右作等边△ADE,连结CE,
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若CE=,求△ACD的面积;
(3)若△ACE是直角三角形,则BD的长是 (直接写出答案).
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【题目】据《中国教育报》2004年5月24日报道:目前全国有近3万所中小学建设了校园网,该报为了了解这近3万所中小学校园网的建设情况,从中抽取了4600所学校,对这些学校校园网的建设情况进行问卷调查,并根据答卷绘制了如图的两个统计图:
说明:统计图1的百分数=×100%;
统计图2的百分数=×100%.
根据上面的文字和统计图提供的信息回答下列问题:
(1)在这个问题中,总体指什么?样本容量是什么?
(2)估计:在全国已建设校园网的中小学中:
①校园网建设时间在2003年以后(含2003年)的学校大约有多少所?
②校园网建设资金投入在200万元以上(不含200万元)的学校大约有多少所?
(3)所抽取的4600所学校中,校园网建设资金投入的中位数落在那个资金段内?
(4)图中还提供了其他信息,例如:校园网建设资金投入在10~50万元的中小学的数量最多等,请再写出其他两条信息.
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【题目】现如今,“垃圾分类”意识已深入人心,垃圾一般可分为:可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾.其中甲拿了一袋垃圾,乙拿了两袋垃圾.
(1)直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率;
(2)求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率.
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【题目】2013年3月,某煤矿发生瓦斯爆炸,该地救援队立即赶赴现场进行救援,救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距4米,探测线与地面的夹角分别是30°和45°,试确定生命所在点C的深度.(精确到0.1米,参考数据:)
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,有一个由六个边长为1的正方形组成的图案,其中点A,B的坐标分别为(3,5),(6,1).若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分,则直线l的函数解析式为_____.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC边上的一点,增加下列条件,不能得出BE∥DF的是( )
A. AE=CF B. BE=DF C. ∠EBF=∠FDE D. ∠BED=∠BFD
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【题目】用A、B两种机器人搬运大米,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米,A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等.求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米.
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