Question

22、如图，将等边三角形APB绕顶点P按顺时针方向旋转150°后，得到△CPD，连接AD、BC．
（1）求∠PCB的度数；
（2）猜想四边形ABCD是

等腰梯

形，并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）由等边三角形APB绕顶点P按顺时针方向旋转150°得到△CPD，根据旋转的性质得∠APC=150°，又∠APB=60°，利用周角的定义可得到∠CPB的度数，而PB=PC，利用等腰三角形的性质即可求出底角∠PCB的度数；
（2）由△PAB和△PCD是全等的等边三角形，得到∠ABC=∠DCB=15°+60°=75°；而∠APD=360°-150°-60°-60°=90°，同样得到∠BAD=∠CDA=45°+60°=105°，于是可判断四边形ABCD是等腰梯形．

解答：解：（1）∵等边三角形APB绕顶点P按顺时针方向旋转150°得到△CPD，
∴∠APC=150°，
又∵△APB为等边三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠CPB=360°-60°-150°=150°，
而PB=PC，
∴∠PCB=（180°-150°）÷2=15°；

（2）四边形ABCD是等腰梯形．理由如下：
∵△PAB和△PCD是全等的等边三角形，
∴PA=PB=PC=PD，
而∠PCB=15°，
∴∠ABC=∠DCB=15°+60°=75°；
又∵∠APD=360°-150°-60°-60°=90°，
∴∠PDA=∠PAD=45°，
∴∠BAD=∠CDA=45°+60°=105°，
∴∠ABC+∠BAD=75°+105°=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．同时考查了等腰梯形的判定方法．