Question

13．定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．
（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；
（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．
（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据四边形的内角和是360°，确定出∠A的范围；
（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；
（3）分三种情况分别讨论计算AB的长，从而得出当AD=2时，AB最长，最后计算出对角线AC的长．

解答 解：（1）∵∠A=∠B=∠C，
∴3∠A+∠ADC=360°，
∴∠ADC=360°-3∠A．
∵0＜∠ADC＜180°，
∴0°＜360°-3∠A＜180°，
∴60°＜∠A＜120°；
（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，
∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．
∵DE=DA，DF=DC，
∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，
∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，
∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，
∴四边形ABCD是三等角四边形
（3）①当60°＜∠A＜90°时，如图1，

过点D作DF∥AB，DE∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形，∠DFC=∠B=∠DEA，
∴EB=DF，DE=FB，
∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，
∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，
设AD=x，AB=y，
∴AE=y-4，CF=4-x，
∵△DAE∽△DCF，
∴$\frac{AE}{CF}=\frac{AD}{CD}$，
∴$\frac{y-4}{4-x}=\frac{x}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+x+4=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+5，
∴当x=2时，y的最大值是5，
即：当AD=2时，AB的最大值为5，
②当∠A=90°时，三等角四边形是正方形，
∴AD=AB=CD=4，
③当90°＜∠A＜120°时，∠D为锐角，如图2，

过点D作DE∥BC，∠DCB=∠CBA，
∴四边形BCDE是等腰梯形，
∴CD=EB=4，
∵AE=4-AB＞0，
∴AB＜4，
综上所述，当AD=2时，AB的长最大，最大值是5；
此时，AE=1，如图3，

过点C作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，
∵DA=DE，DN⊥AB，
∴AN=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$，
∵∠DAN=∠CBM，∠DNA=∠CMB=90°，
∴△DAN∽△CBM，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{AN}{BM}$，
∴BM=1，
∴AM=4，CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{16+15}$=$\sqrt{31}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了四边形的内角和是360°，平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是分类画出图形，也是解本题的难点．