Question

【题目】(1)请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：

如图①如果AB∥CD，求证：∠APC＝∠A+∠C．

证明：过P作PM∥AB．

所以∠A＝∠APM，(　 　)

因为PM∥AB，AB∥CD(已知)

所以∠C＝　 　(　 　)

因为∠APC＝∠APM+∠CPM

所以∠APC＝∠A+∠C(等量代换)

(2)如图②，AB∥CD，根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C＝　 　．

(3)如图③，AB∥CD，若∠ABP＝x，∠BPQ＝y，∠PQC＝z，∠QCD＝m，则m＝　 　(用x、y、z表示)

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)540°；(3)x﹣y+z．

【解析】

（1）根据平行线的性质可得；

（2）过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥CD，将∠A、∠P、∠Q、∠C划分为6个3对同旁内角，由平行线的性质可得；

（3）延长PQ交CD于点E，延长QP交AB于点F，可得∠BFP=∠CEQ，根据三角形外角定理知∠BFP=∠BPQ-∠B、∠CEQ=∠PQC-∠C，整理后即可得．

(1)过P作PM∥AB，

所以∠A＝∠APM，(两直线平行，内错角相等)

因为 PM∥AB，AB∥CD (已知 )

所以 PM∥CD，

所以∠C＝∠CPM，(两直线平行，内错角相等)

因为∠APC＝∠APM+∠CPM

所以∠APC＝∠A+∠C (等量代换 )，

故答案为：两直线平行，内错角相等；∠CPM；两直线平行，内错角相等．

(2)如图②，过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥CD，

∴∠A+∠APM＝180°，∠C+∠CQN＝180°，

又∵AB∥CD，

∴PM∥QN，

∴∠MPQ+∠NQP＝180°，

则∠A+∠APQ+∠CQP+∠C＝∠A+∠APM+∠MPQ+∠NQP+∠CQN+∠C＝540°，

故答案为：540°．

(3)如图③，延长PQ交CD于点E，延长QP交AB于点F，

∵AB∥CD，

∴∠BFP＝∠CEQ，

又∵∠BPQ＝∠BFP+∠B，∠PQC＝∠CEQ+∠C，

即∠BFP＝∠BPQ﹣∠B，∠CEQ＝∠PQC﹣∠C，

∴∠BPQ﹣∠B＝∠PQC﹣∠C，即y﹣x＝z﹣m，

∴m＝x﹣y+z，

故答案为：x﹣y+z．