Question

10．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，求出BD′，证明PA=PE，PD=ED′，根据两点之间线段最短得到答案．

解答 解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，
∵∠BAD=30°，∠DAD′=60°，
∴∠BAD′=90°，又AB=AD=AD′，
∴BD′=$\sqrt{A{B}^{2}+AD{′}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∠ABP=45°，又∠BAP=15°，
∴∠APE=∠PAE=60°，
∴△EAP为等边三角形，
∴PA=PE，
又∵△APD≌△AED′，
∴PD=ED′，
根据两点之间线段最短，
∴AP+BP+PD的最小值=PB+PE+ED′=6$\sqrt{2}$，
故答案为：6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是菱形的性质、轴对称变换和两点之间线段最短的知识，正确找出辅助线是解题的关键，注意轴对称变换的性质的正确运用．