Question

16．已知a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边（a＞b），关于x的方程x²-2（a+b）x+2ba+c²=0有两等根，∠A、∠B的正弦是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两根，若△ABC最长边为10，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 先根据方程有两相等的实数根可判断出△ABC是直角三角形，再根据互余两角的三角函数关系及sinA，sinB是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两根可得出sinA+cosA=$\frac{2m-5}{m+5}$，sinAcosA=$\frac{m-8}{m+5}$，再根据同角三角函数的关系可求出m的值，先根据三角形外接圆的面积求出其半径及直径的长，进而可得出sinA=$\frac{3}{5}$或$\frac{4}{5}$，于是得到结论．

解答 解：∵关于x的方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有等根，
∴△=4（a+b）²-4（c²+2ab）=0，即a²+b²=c²
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，sinB=sin（$\frac{π}{2}$-A）=cosA，
∵sinA，sinB是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两根，
∴sinA+cosA=$\frac{2m-5}{m+5}$，sinAcosA=$\frac{m-8}{m+5}$，
∵sin²A+cos²A=1，
∴m₁=20，m₂=4，
又∵sinA＞0，cosA＞0，
∴m=20，
∵△ABC最长边为10，
∴c=10由（1）可得sinA=$\frac{3}{5}$或$\frac{4}{5}$，
∴直角边分别为6，8，
∴△ABC的周长=24．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到根的判别式、勾股定理、同角三角函数关系、互余两角的三角函数关系及三角形的外接圆，涉及面较广，难度较大．