Question

（2012•随州）设a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，且1-ab²≠0，则(

ab2+b2-3a+1

a

)5=

-32

．

Answer 1

分析：根据1-ab²≠0的题设条件求得b²=-a，代入所求的分式化简求值．

解答：解：∵a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，
∴（a²+2a-1）-（b⁴-2b²-1）=0，
化简之后得到：（a+b²）（a-b²+2）=0，
若a-b²+2=0，即b²=a+2，则1-ab²=1-a（a+2）=1-a²-2a=-（a²+2a-1），
∵a²+2a-1=0，
∴-（a²+2a-1）=0，与题设矛盾
∴a-b²+2≠0，
∴a+b²=0，即b²=-a，
∴(

ab2+b2-3a+1

a

)5
=(

-a2-a -3a+1

a

)5
=-(

a2+2a+2a-1

a

)5
=-（

2a

a

）⁵
=-2⁵
=-32．
故答案为-32．
解法二：
∵a²+2a-1=0，
∴a≠0，
∴两边都除以-a²，得

1

a2

-

2

a

-1=0
又∵1-ab²≠0，
∴b²≠

1

a

而已知b⁴-2b²-1=0，
∴

1

a

和b²是一元二次方程x²-2x-1=0的两个不等实根
∴

1

a

+b²=2，

1

a

×b²=

b2

a

=-1，
∴（ab²+b²-3a+1）÷a=b²+

b2

a

-3+

1

a

=（b²+

1

a

）+

b2

a

-3=2-1-3=-2，
∴原式=（-2）⁵=-32．

点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用．