Question

【题目】如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如图，连接BD，

∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ABC中，

AC= = =5 （cm），

②∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴ ，

∴AD=BD，

∴Rt△ABD是直角等腰三角形，

∴AD= AB= ×10=5 cm；

（2）

解：直线PC与⊙O相切，

理由：连接OC，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠OCA，

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ECB，

∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，

即OC⊥PC，

∴直线PC与⊙O相切．

【解析】（1）连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD，（2）连接OC，由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和圆周角定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．