Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动，设点F运动的时间为t（秒）．
（1）求AD的长；
（2）设四边形BFED的面积为y，求y关于t的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）当t为何值时，以EF为半径的⊙F与CD边只有一个公共点．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）求AD的边长，可利用勾股定理或三角函数解直角三角形ABD，也可以利用三角形相似边长成比例求得．由题目已知部分边长，推理求解容易得AD长；
（2）动点问题关键找不动的量，观察发现四边形BFED运动过程中，面积始终等于三角形BDC的面积与三角形CEF面积的差，所以利用此关系用t表示三角形CEF的面积，又三角形BDC面积固定，则y易表示；
（3）圆与直线只有一个公共点，即圆与直线相切，此时半径等于圆心到直线的距离．由EF为圆的半径，又点E在CD上，那么此时EF⊥CD．由此可以进一步推导t的值．但是仔细审题，题中要求的是⊙F与CD边只有一个公共点，边CD与直线CD不相同，所以还要进一步考虑其他情形．

解答：解：（1）在Rt△BCD中，
∵CD=6cm，BC=10cm，
∴BD=8cm．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
∵cos∠CBD=

BD

BC

=

4

5

，
∴cos∠ADB=

4

5

=

AD

BD

=

AD

8

，
∴AD=

32

5

（cm）．

（2）如图，过点E作EH⊥AB，垂足为H．
在Rt△CEH中，
∵CE=t，sin∠C=

BD

BC

=

4

5

，
∴CF边上的高EH=CE•sin∠C=

4

5

t，
∴S△CEF=

1

2

CF•EH=

1

2

(10-2t)×

4

5

t=-

4

5

t2+4t，
∵S△BCD=

1

2

BD•CD=24，
∴y=S△BCD-S△CEF=24-(-

4

5

t2+4t)=

4

5

t2-4t+24（0≤t≤5）．

（3）①如图1，当⊙F经过点D，此时⊙F与边CD有两个交点，
过点D作DH⊥BC，EK⊥BC，连接DF，EF，则有DF=EF．
在Rt△BDC中，
∵cos∠C=

CD

BC

=

3

5

，sin∠C=

4

5

，
∴HC=cos∠C•CD=

3

5

•6=

18

5

，DH=sin∠C•CD=

24

5

．
∵BF=2t，CE=t，
∴FH=BC-BF-HC=10-t-

18

5

=

32

5

-T，
KC=cos∠C•EC=

3

5

t，EK=sin∠C•EC=

4

5

t，
∴FK=BC-BF-KC=10-2t-

3

5

t=10-

13

5

t．
在Rt△DFH和Rt△EFK中，
∵DF=EF，
∴FK²+EK²=DH²+FH² ，
∴(10-

13

5

t)2+(

4

5

t)2=(

24

5

)2+(

32

5

-t)2，
解得：t=

30

17

（负值舍去），
即当0≤t＜

30

17

时，⊙F与边CD只有一个交点．

②如图2，当EF等于F点到CD距离时，CD与⊙F相切，只有一个交点，此时EF⊥CD．
∵BF=2t，CE=t，
∴CF=10-2t，
∴

EC

CF

=

t

10-2t

=cos∠C=

3

5

，
∴t=

30

11

，
即当t=

30

11

时，⊙F与边CD只有一个交点．

③如图3，当⊙F经过点C，此时⊙F与边CD有两个交点．
过点F作FM⊥EC，
∵FC=FE，
∴EM=MC=

1

2

EC．
∵BF=2t，CE=t，
∴FC=10-2t，CM=

1

2

t，
∴

CM

FC

=

1 2 t

10-2t

=cos∠C=

3

5

，
∴t=

60

17

，
即当

60

17

＜t≤5时，⊙F与边CD只有一个交点．
综上所述，当0≤t＜

30

17

，t=

30

11

，

60

17

＜t≤5时，⊙F与边CD只有一个交点．

点评：本题考查的是直角三角形的相关性质，如果熟练掌握三角函数知识解决问题会方便很多．对于类似第二问的动点问题，要注重寻找图形移动过程中的不变关系，往往这是解决问题的关键．第三问初看问题不难，但仔细审题会发现题目要求的是圆与边的交点，而非圆与直线的交点，讨论中反复利用三角函数等知识，是一道难度较高的题目．