Question

提示：此题有I、II、IIV三道题目，其中I题4分，II题6分，IIV题8分．

题目I：如图I，已知∠B=∠C，试说明

AB

AC

=

AD

AE

；
题目II：如图II，已知

AB

AD

=

AC

AE

，试说明OB•OD=OC•OE；
题目III：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是AD中点，MN⊥AD交BC的延长线于N，求证：DN²=BN•CN．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件求出△ABD∽△ACE，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答；
（2）先根据已知条件可得出

AE

AD

=

AC

AB

，再根据∠BAD=∠EAC可求出△ADB∽△AEC，再由相似三角形的对应角相等可求出∠B=∠C，由相似三角形的判定定理可求出△BOE∽△COD，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可；
（3）连接AN，根据M是AD中点，MN⊥AD可知AN=DN，由等腰三角形三线合一的特点可知∠ANE=∠DNE，
利用角平分线及三角形内角与外角的关系可知∠CAN=∠B，利用相似三角形的判定定理可知△BOE∽△COD，根据相似三角形的性质及角平分线判定定理可得△ANE∽△CNF，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答：证明：题目I，∵∠B=∠C，∠BAD=∠EAC，
∴△ABD∽△ACE，
∴

AB

AC

=

AD

AE

；

题目II：
∵

AB

AD

=

AC

AE

，
∴

AE

AD

=

AC

AB

，
∵∠BAD=∠EAC，
∴△ADB∽△AEC，
∴∠B=∠C，
∵∠BOE=∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴

OB

OC

=

OE

OD

，OB•OD=OC•OE；

题目III：如图，连接AN，
∵M是AD中点，MN⊥AD交BC的延长线于N，
∴AN=DN，∠ADN=∠DAN，∠ANM=∠DNM，
在△ABD中，
∠AND=∠B+∠MAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠MAD，
∵∠DAN=∠DAC+∠CAN，
∴∠CAN=∠B，
又∵∠ANM=∠DNM，
∴△ANF∽△BNE，
∴

AN

BN

=

NF

NE

．
∵AD是∠BAC的平分线，MN⊥AD，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠ANE=∠DNE，
∴△ANE∽△CNF，
∴

CN

AN

=

NF

NE

，
∴

CN

AN

=

AN

BN

，
∵AN=DN，
∴DN²=BN•CN．

点评：此题比较复杂，涉及到相似三角形的判定定理及性质、等腰三角形的判定定理及性质、角平分线的性质，涉及面较广，难度较大．