Question

【题目】点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；．请探索下列问题：

（1）计算____________，它表示哪两个点之间的距离？________________________．

（2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=____________；当PB=2时，x=____________；当x=____________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小．

（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________________________．

Answer 1

【答案】（1）5；A与C;（2）|x+2|；-4或0；1;（3）1019090

【解析】

（1）由所给信息，结合绝对值的性质可求；

（2）由绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，在不同的x范围内确定|x＋4|＋|x1|＋|x3|的最小值；

（3）由所给式子的对称性，结合绝对值的性质，将所求绝对值式子转化为求0＋2＋4＋…＋2018的和．

（1）|1（4）|＝|1＋4|＝|5|＝5，|1（4）|表示点A与C之间的距离，

故答案为：5，点A与C；

（2）∵点P为数轴上一点，它所表示的数为x，点B表示的数为2，

∴PB＝|x（2）|＝|x＋2|，

当PB＝2时，|x＋2|＝2，得x＝0或x＝4，

当x≤4时，|x＋4|＋|x1|＋|x3|＝x4＋1x＋3x＝x≥4；

当4＜x＜1时，|x＋4|＋|x1|＋|x3|＝x＋4＋1x＋3x＝8x，

当1≤x≤3时，|x＋4|＋|x1|＋|x3|＝x＋4＋x1＋3x＝6＋x，

当x＞3时，|x＋4|＋|x1|＋|x3|＝x＋4＋x1＋x3＝3x＞9，

∴当x＝1时，|x＋4|＋|x1|＋|x3|有最小值；

故答案为：|x＋2|；4或0；1

（3）|x1|＋|x2019|≥|12019|＝2018，

当且仅当1≤x≤2019时，|x1|＋|x2019|＝2018，

当且仅当2≤x≤2018时，|x2|＋|x2018|≥|22018|＝2016，

…

同理，当且仅当1009≤x≤1011时，|x1009|＋|x1011|≥|10091011|＝2，

|x1010|≥0，当x＝1010时，|x1010|＝0，

∴|x1|＋|x2|＋|x3|＋…＋|x2018|＋|x2019|≥0＋2＋4＋…＋2018＝1019090，

∴|x1|＋|x2|＋|x3|＋…＋|x2018|＋|x2019|的最小值为1019090；

故答案为1019090．