Question

【题目】已知抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（m＞0.5）的最低点的纵坐标为﹣4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；

（3）如图2，平移抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝﹣2上有一动点P，过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F（直线PE、PF不与y轴平行），求证：直线EF恒过某一定点．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）D（﹣，﹣）；（3）见解析

【解析】

（1）先求出顶点坐标，由最低点的纵坐标为﹣4，可列方程，即可求解；

（2）连AC交BD于E，过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，由三角形面积关系和全等三角形的性质可求点E坐标，可求BD解析式，即可求点D坐标；

（3）设E（t，t2），F（n，n2），可求PE解析式，由与抛物线有唯一的公共点，可求k1＝2t，即可求点P横坐标，可得tn＝﹣2，设直线EF的解析式为y＝kx+b，得x2﹣kx﹣b＝0，可求b＝2，即可得直线EF恒过定点（0，2）．

解：（1）∵y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m＝（x+m﹣0.5）2﹣m2﹣m﹣0.25，

∴顶点坐标为（0.5﹣m，﹣m2﹣m﹣0.25）

∵最低点的纵坐标为﹣4，

∴﹣m2﹣m﹣0.25＝﹣4，即4m2+4m﹣15＝0，

∴m＝1.5或﹣2.5，

∵m＞0.5，∴m＝1.5．

∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）∵y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

如图，连AC交BD于E，过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，

∵BD平分四边形ABCD的面积，

∴S△ABD＝S△CBD，

∴BD×AM＝BD×CN，

∴AM＝CN，且∠AEM＝∠CMN，∠AME＝∠CNE＝90°

∴△AEM≌△CEN（AAS），

∴AE＝CE，

∴E（﹣1.5，﹣1.5），且B（1，0），

∴直线BE的解析式为y＝0.6x﹣0.6．

∴0.6x﹣0.6＝x2+2x﹣3，

解得x1＝﹣，x2＝1，

∴D（﹣，﹣）．

（3）由题意可得平移后解析式为y＝x2，

设E（t，t2），F（n，n2），

设直线PE为y＝k1（x﹣t）+t2，

由题意可得 x2﹣k1x+k1t﹣t2＝0，

∴△＝k12﹣4（k1t﹣t2）＝（k1﹣2t）2＝0，

∴k1＝2t．

∴直线PE为y＝2t（x﹣t）+t2，即y＝2tx﹣t2．

令y＝﹣2，得xP＝，

同理，设直线PF为y＝k2（x﹣n）+n2，

∴xP＝，

∴＝，

∵t≠n，

∴tn＝﹣2．

设直线EF的解析式为y＝kx+b，得x2﹣kx﹣b＝0，

∴xExF＝﹣b，即tn＝﹣b，

∴b＝2．

∴直线EF为y＝kx+2，过定点（0，2）．