Question

如图1，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x²于A、B两点．
（1）若A（-

3

2

，n）、B（1，1），求直线m的解析式；
（2）若P（-2，t），当PA=AB时，求点A的坐标；
（3）无论点P在l上移动到何处，是否总可以找到这样的直线，使得PA=AB？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出A点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（2）首先求出P点坐标，再利用梯形的性质得出B点坐标，代入y=x²求出m的值即可得出A点坐标；
（3）首先设P（a，-2a-2），A（m，m²），再表示出B点坐标，进而利用根的判别式求出，无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根，进而得出答案．

解答：解：（1）∵A（-

3

2

，n），
∴n=（-

3

2

）²=

9

4

，
∴A（-

3

2

，

9

4

），
将A（-

3

2

，

9

4

），B（1，1）代入y=kx+b得：

k+b=1 - 3 2 k+b= 9 4

，
解得：

k=- 1 2 b= 3 2

故直线m的解析式为：y=-

1

2

x+

3

2

；

（2）∵点P（-2，t）在直线y=-2x-2上，
∴t=2，∴P（-2，2）．
设A（m，m²），如图1所示，分别过点P、A、B
作x轴垂线，垂足分别为点G、E、F．
∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE=EF，AE=

1

2

（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=2+m，EO=-m，
∴OF=|2+m-（-m）|=|2+2m|，
∴OF=2m+2，
∵AE=

1

2

（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²-2，
∴B（2+2m，2m²-2）．
∵点B在抛物线y=x²上，
∴2m²-2=（2+2m）²
解得：m=1或-3，
当m=-1时，m²=1；当m=-3时，m²=9
故点A的坐标为（-1，1）或（-3，9）．

（3）存在，设P（a，-2a-2），A（m，m²）．
理由：如图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．
∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE=EF，AE=

1

2

（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=m-a，EO=-m，
∴OF=|m-a-（-m）|=|2m-a|，
∴OF=2m-a，
∵AE=

1

2

（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²+2a+2，
可得：B（2m-a，2m²+2a+2）．
∵点B在抛物线y=x²上，
∴2m²+2a+2=（2m-a）²
整理得：2m²-4am+a²-2a-2=0．
△=8（a+1）²+8＞0，
∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．
即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A，使得PA=AB成立．所以总能找到这样的直线．

点评：此题主要考查了梯形的性质以及待定系数法求一次函数解析式以及点的坐标性质等知识，正确表示出B点坐标是解题关键．