Question

【题目】如图，已知四边形ABCD为矩形，AD=20cm、AB=10cm．M点从D到A，P点从B到C，两点的速度都为2cm/s；N点从A到B，Q点从C到D，两点的速度都为1cm/s．若四个点同时出发．

（1）判断四边形MNPQ的形状．

（2）四边形MNPQ能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）四边形MNPQ是平行四边形， 理由见解析；（2）四边形MNPQ能为菱形时，运动时间是5 s．

【解析】

（1）利用矩形的性质和勾股定理判定四边形MNPQ的两组对边相等，则该四边形为平行四边形；

（2）利用菱形是邻边相等的平行四边形来求运动时间．

（1）解：四边形MNPQ是平行四边形． 理由如下：

在矩形ABCD中，AD=BC=20cm，AB=CD=10cm，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°．

设运动时间为t秒，则AN=CQ=t cm，BP=DM=2t cm．

∴BN=DQ=（10-t）cm，CP=AM=（20-2t）cm．

由勾股定理可得，NP=，MQ=,

∴NP=MQ．

同理，可得MN=PQ．

∴四边形MNPQ是平行四边形．

（2）能．理由如下：

∵当四边形MNPQ能为菱形时，NP=QP，

∴=，

∴，

解得 t=5．

即四边形MNPQ能为菱形时，运动时间是5 s．