Question

24、先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
例1：1+ax+ax（1+ax）=（1+ax）（1+ax）
=（1+ax）²；
例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）²=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）²
=（1+ax）²+ax（1+ax）²
=（1+ax）²（1+ax）
=（1+ax）³
（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）²+…+ax（1+ax）ⁿ=

（1+ax）ⁿ⁺¹

；
（2）分解因式：x-1-x（x-1）+x（x-1）²-x（x-1）³+…-x（x-1）²⁰⁰³+x（x-1）²⁰⁰⁴
（答题要求：请将第（1）问的答案填写在题中的横线上）

Answer 1

分析：首先把式子整理，可知是将一个多项式进行因式分解，考虑运用分组分解法．
（1）可以把1+ax分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．
（2）可以把x-1分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．

解答：解：（1）1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）²+…+ax（1+ax）ⁿ，
=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）^2+…+ax（1+ax）ⁿ，
=（1+ax）²+ax（1+ax）^2+…+ax（1+ax）ⁿ，
=（1+ax）²（1+ax）_+…+ax（1+ax）ⁿ，
=（1+ax）³_+…+ax（1+ax）ⁿ，
=（1-ax）^n（1+ax），
=（1+ax）ⁿ⁺¹；

（2）x-1-x（x-1）+x（x-1）²-x（x-1）³+…-x（x-1）²⁰⁰³+x（x-1）²⁰⁰⁴，
=（x-1）（1-x））+x（x-1）²-x（x-1）³+…-x（x-1）²⁰⁰³+x（x-1）²⁰⁰⁴，
=（x-1）²（-1+x）²-x（x-1）³+…-x（x-1）²⁰⁰³+x（x-1）²⁰⁰⁴，
=（x-1）²（1-x）+…-x（x-1）²⁰⁰³+x（x-1）²⁰⁰⁴，
=（x-1）²⁰⁰⁵．

点评：本题考查了分组分解法分解因式，关键是将原式转化为（x-1）ⁿ的形式，解题时要有构造意识和想象力．