Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边AB上一点，AE⊥AB，且AE=BD，DE与AC相交于点F． 
（1）若点D是AB的中点（如图1），试判断△CDE的形状，并证明你的结论；
（2）若点D不是AB的中点（如图2），那么（1）中的结论是否仍然成立？如果一定成立，请加以证明；如果不一定成立，请说明理由；
（3）若AD=AC，那么△AEF是

 

三角形．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD⊥AB，且CD=AD=BD，然后证明四边形AECD是正方形，根据正方形的一条对角线把正方形分成两个等腰直角三角形即可证明；
（2）根据题意可得△ABC是等腰直角三角形，所以∠B=∠BAC=45°，又∵AE⊥AB，求出∠CAE=45°，然后证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等CE=CD，对应角相等∠ACE=∠BCD，然后证明∠ECD=∠ACB=90°，即可得到△CDE是等腰直角三角形；
（3）根据等腰三角形的两底角相等求出∠ACD的度数，再根据三角形的内角和等于180°分别求出∠CFD与∠AEF的度数，根据角度相等即可得到△AEF是等腰三角形．

解答：解：（1）△CDE是等腰直角三角形．…（1分）
在△ABC中，∠ACB=∠90°，AC=BC，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=CD，且CD⊥AB，
又AE=BD，
∴AE=AD=CD，…（1分）
∵AE⊥AB，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形AECD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又AE=AD，
∴平行四边形AECD是矩形（一组邻边相等的平行四边形是矩形），
∵AE⊥AB，
∴∠EAD是直角，
∴矩形AECD是正方形（有一个角是直角的矩形是正方形），
∴△CDE是等腰直角三角形；

（2）（1）中的结论仍然成立，即△CDE是等腰直角三角形 …（1分）
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵AE⊥AB，
∴∠CAE=90°-45°=45°，
∴∠CAE=∠CBD，
在△AEC与△BDC中

AE=BD ∠CAE=∠CBD AC=AC

，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴CE=CD（全等三角形对应边相等），∠ACE=∠BCD（全等三角形对应角相等），…（2分）
又∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠90°，
∴∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠90°，…（1分）
∴△CDE是等腰直角三角形；

（3）∵AD=AC，∠BAC=45°，
∴∠ACD=

1

2

（180°-45°）=67.5°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∴∠CFD=180°-∠CDE-∠ACD=180°-45°-67.5=67.5°，
∴∠AFE=∠CFD=67.5°，
∵∠CAE=45°，
∴∠AEF=180°-∠CAE-∠AFE=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形．      …（2分）
注：如有不同解法请相应给分

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，属于综合题，但难度不大，仔细分析图形便不难解决．