Question

9．已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T．

（1）如图1，当C点运动到O点时，求PT的长；
（2）如图2，当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；
（3）如图3，设PT=y，AC=x，求y与x的解析式并求出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）连接OT，根据题意，由勾股定理可得出PT的长；
（2）连接OT，则OP平分劣弧AT，则∠AOP=∠B，从而证出结论；
（3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，由相交弦定理，可得出CD的长，再由切割线定理可得出y与x之间的关系式，进而求得y的最小值．

解答 （1）解：如图（1），连接OT，
∵PC=5，OT=4，
∴由勾股定理得，PT=$\sqrt{P{C^2}-O{T^2}}$=$\sqrt{25-16}$=3；

（2）证明：如图（2）连接OT，
∵PT，PC为⊙O的切线，
∴OP平分劣弧AT，
∴∠POA=∠POT，
∵∠AOT=2∠B，
∴∠AOP=∠B，
∴PO∥BT；

（3）解：如图（3），连接PO，PT
∵AB是⊙O的直径，AB=8，AC=x
∴CO=4-x；
又∵PC⊥AB
∴PO=$\sqrt{{{（4-x）}^2}+{5^2}}$
∴y=PT=$\sqrt{P{O^2}-O{T^2}}$=$\sqrt{{{（4-x）}^2}+{5^2}-{4^2}}$=$\sqrt{{x^2}-8x+25}$
∴y_最小=$\sqrt{（x-4）^{2}+9}$=3．

点评 本题是一道圆综合题，考查了切线的性质、二次函数的最值以及勾股定理的内容，是中考压轴题，难度较大．