Question

9．观察下面的变形规律：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；…解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）求和：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$．（注：只能用上述结论做才能给分）；
（3）用上述相似的方法求和：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$．

Answer 1

分析 （1）观察题目所给等式可直接写出．
（2）利用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$把$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$转换成1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$后直接计算即可．
（3）仿照（2）将：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$转换成$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$）就可轻易算出结果．

解答 解：（1）答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
=1-$\frac{1}{4}$
=$\frac{3}{4}$
（3）$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2015}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2014}{2015}$
=$\frac{1007}{2015}$

点评 本题考查了数字的变换规律问题，解题的关键是能够总结出规律等式$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$并应用于求和运算．