Question

10．如图，正方形ABCD中，AB=10，点P是正方形ABCD内的一点，PB=$\frac{25}{3}$，PB=PC，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ，延长BP交直线DQ于点E，则△EDP的面积为$\frac{17}{3}$．

Answer 1

分析 作PH⊥BC于H，CM⊥BE于M，CN⊥EQ于N．由△BCP≌△DCQ，推出∠CPM=∠Q，推出△CMP≌△CNQ，推出四边形EMCN是正方形，想办法求出PE、DE即可解决问题．

解答 解：如图，作PH⊥BC于H，CM⊥BE于M，CN⊥EQ于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCD=∠PCQ=90°，
∴∠BCD=∠PCQ，
∴∠BCP=∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCP=∠DCQ}\\{CP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCQ，
∴∠CPM=∠Q，
在△CMP和△CNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPM=∠Q}\\{∠CMP=∠CNQ=90°}\\{CP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△CMP≌△CNQ，
∴CM=CN，∠PCM=∠QCN，
∴∠MCN=∠PCQ=90°，
∴∠MCN=∠CME=∠CNE=90°，
∴四边形EMCN是矩形，∵CM=CN，
∴四边形EMCN是正方形，
∵PB=PC，PH⊥BC，
∴BH=CH=5，
在Rt△PBH中，PH=$\sqrt{P{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∵S_△PBC=$\frac{1}{2}$•PB•CM=$\frac{1}{2}$•BC•PH，
∴CM=CN=EM=EN=8，
在Rt△PCM中，PM=$\sqrt{P{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\frac{7}{3}$，
∴BM=6，
∴DN=6，PE=$\frac{17}{3}$，DE=2，
∴S_△PDE=$\frac{1}{2}$•PE•DE=$\frac{17}{3}$，
故答案为$\frac{17}{3}$．

点评 本题考查旋转变换、正方形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明四边形EMCN是正方形，属于中考填空题中的压轴题．