Question

20．如图，△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的高，BD与CE交于点O．BE=CD
（1）问△ABC为等腰三角形吗？为什么？
（2）连接AO，直线AO是线段BC的垂直平分线吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）先利用HL证明Rt△BCD与Rt△CBE全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边的性质可得AB=AC，所以△ABC是等腰三角形；
（2）根据（1）中Rt△BCD≌Rt△CBE，然后利用全等三角形对应边相等可得BD=CE，对应角相等可得∠BCE=∠CBD，然后利用等角对等边可得BO=CO，相减可得OD=OE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明．

解答 解：（1）△ABC是等腰三角形．
理由如下：∵BD、CE是△ABC的高，
∴△BCD与△CBE是直角三角形，
在Rt△BCD与Rt△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；

（2）直线AO是线段BC的垂直平分线．
理由如下：∵Rt△BCD≌Rt△CBE，
∴BD=CE，∠BCE=∠CBD，
∴BO=CO，
∴BD-BO=CE-CO，
即OD=OE，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴点O在∠A的平分线上，
∵AB=AC，
∴直线AO是线段BC的垂直平分线．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，证明出全等三角形是解题的关键．