Question

如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC²=AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG=，即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．
解答：（1）证明：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，
∴∠PAC=∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，
∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，
∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴=，
即AC²=AG•AB，
∵AG•AB=12，
∴AC²=12，
∴AC=2；

（3）解：设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，
∴AD=AF+FD=3x，
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC²=AF•AD，
即3x²=12，
解得；x=2，
∴AF=2，AD=6，∴⊙O半径为3，
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，
根据勾股定理得：AG===，
由（2）知，AG•AB=12，
∴AB==，
连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，
∴sin∠ADB=，
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACE=．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出AG的长以及AB的长是解题关键．