Question

若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a²+b²的最小值为

1. A.
   -7
2. B.
   0
3. C.
   9
4. D.
   18

Answer 1

D
分析：设a+b=m，则ab=m+3，a²+b²变形，再整体代入，转化为关于x的二次函数求最小值，注意a、b正实数的条件的运用．
解答：设a+b=m，则ab=m+3，
a、b可看作关于x的方程x²-mx+m+3=0的两根，
a、b为实数，则△=（-m）²-4（m+3）≥0，
解得m≤-2或m≥6，而a、b为正实数，
∴a+b=m＞0，只有m≥6，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=m²-2（m+3）=（m-1）²-7，
可知当m≥1时，a²+b²随m的增大而增大，
∴当m=6时，a²+b²的值最小，为18．
故选D．
点评：本题考查了二次函数最值在确定代数式的值中的运用．本题要注意：①根据已知条件换元，转化为二次函数，②a、b为正实数条件的运用．