Question

10．已知平行四边形ABCD的周长为28，过顶点D作直线AB、BC的垂线，垂足分别为E、F，若DE=3，DF=4，则BE+BF=2+$\sqrt{3}$或14+7$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据∠A为锐角或∠D为锐角分情况进行讨论，由?ABCD的周长为18，DE⊥直线BC，DF⊥直线AB，垂足分别为E、F，且DE=3，DF=4，构造方程求解即可求得答案．

解答 解：对于平行四边形ABCD有两种情况：
当∠A为锐角时，如图1，
设BC=a，AB=b，
∵平行四边形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=3，DF=4，
∴3a=4b，
∵平行四边形ABCD的周长为28，
∴2（a+b）=28，
∴a+b=14，
则$\left\{\begin{array}{l}{3a=4b①}\\{a+b=14②}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴BC=8，AB=6，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，
∴在Rt△ADE中，CE=3$\sqrt{3}$，
∴BE=BC-CE=8-3$\sqrt{3}$，
∴在Rt△ADF中，AF=4$\sqrt{3}$，
∵F点在AB的延长线上，
∴BF=AF-AB=4$\sqrt{3}$-6，
∴BE+BF=（8-3$\sqrt{3}$）+（4$\sqrt{3}$-6）=2+$\sqrt{3}$，

当∠D为锐角时，如图2，
设BC=a，AB=b，
∵平行四边形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=3，DF=4，
∴3a=4b，
∵平行四边形ABCD的周长为28，
∴2（a+b）=28，
∴a+b=14，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3a=4b①}\\{a+b=14②}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴BC=8，AB=6，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，
∴在Rt△ADE中，CE=3$\sqrt{3}$，
∴BE=BC+CE=8+3$\sqrt{3}$，
∴在Rt△ADF中，AF=4$\sqrt{3}$，
∵F点在AB的延长线上，
∴BF=AF+AB=4$\sqrt{3}$+6，
∴BE+BF=（8+3$\sqrt{3}$）+（4$\sqrt{3}$+6）=14+7$\sqrt{3}$，
故答案为：2+$\sqrt{3}$或14+7$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，合并同类二次根式等知识点，关键在于根据∠A为锐角或∠D为锐角分情况进行讨论，根据平行四边形的面积公式和周长定理正确的列出方程组，并认真的求解，推出AB和BC的长度，熟练运用数形结合的思想进行求解．