Question

7．如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点，且OB=$\frac{1}{2}$OC．
（1）求B点的坐标和k的值．
（2）若点A（x，y）是第一象限内直线y=kx-1的一个动点，试写出△AOB的面积与x的函数关系式．
（3）当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）令一次函数解析式中x=0，求出y值，即可得出点C的坐标以及OC的长度，再根据OB=$\frac{1}{2}$OC，即可得出点B的坐标，将点B的坐标带入一次函数解析式中即可求出k值；
（2）由点A（x，y）是第一象限内直线y=2x-1的一个动点，用x表示出y并找出x的取值范围，再根据三角形的面积公式即可得出S关于x的函数关系式；
（3）分点A在x轴上下两种情况考虑，当点A在x轴上方时将S=$\frac{1}{4}$代入（2）的结论中，求出x值，再将x代入点A的坐标即可；当点A在x轴下方时，根据三角形的面积可得出关于y的一元一次方程，解方程可得出y值，将其代入点A坐标即可．此题得解．

解答 解：（1）令y=kx-1中x=0，则y=-1，
∴C（0，-1），OC=1．
∵OB=$\frac{1}{2}$OC，
∴OB=$\frac{1}{2}$，
∴点B的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），
把B（$\frac{1}{2}$，0）代入y=kx-1中，得0=$\frac{1}{2}$k-1，
解得：k=2．
（2）∵点A（x，y）是第一象限内直线y=2x-1的一个动点，
∴A（x，2x-1）（x＞$\frac{1}{2}$），
∴S=$\frac{1}{2}$•OB•y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（2x-1）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$（x＞$\frac{1}{2}$）．
（3）当S=$\frac{1}{4}$时，分两种情况：
①当点A在x轴上方时，有$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
解得：x=1，
∴y=2x-1=1，
∴A（1，1）；
②当点A在x轴下方时，有-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$y=$\frac{1}{4}$，
解得：y=-1，
∴x=$\frac{y+1}{2}$=0，
∴A（0，-1）．
故当点A的坐标为（1，1）或（0，-1）时，△AOB的面积为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点B的坐标；（2）利用三角形的面积公式找出S关于x的函数关系式；（3）分点A在x轴的上下考虑．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．