Question

3．如图，曲线l是由函数y=$\frac{6}{x}$在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（-4$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}}$），B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}}$）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为8．

Answer 1

分析 由题意A（-4$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}}$），B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}}$），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S_△OMN=S_△OBM-S_△OBN计算即可．

解答 解：∵A（-4$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}}$），B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}}$），
∴OA⊥OB，
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．

在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
∴直线AB解析式为y′=-2x′+8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y′=-2x′+8}\\{y′=\frac{6}{x′}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x′=1}\\{y′=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x′=3}\\{y′=2}\end{array}\right.$，
∴M（1，6），N（3，2），
∴S_△OMN=S_△OBM-S_△OBN=$\frac{1}{2}$•4•6-$\frac{1}{2}$•4•2=8，
故答案为8

点评 本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．