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    16．如图1，抛物线y=ax2+bx+$\frac{7}{4}$经过A（1，0），B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
    ①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
    ②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长．

    分析 （1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得到关于a、b方程组，解关于a、b的方程组求得a、b的值即可；
    （2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．依据等边三角形的性质可求得CK=3$\sqrt{3}$，然后依据三角形的面积公式结合已知条件可求得S△ABM的面积，设M（a，$\frac{1}{4}$a2-2a+$\frac{7}{4}$），然后依据三角形的面积公式可得到关于a的方程，从而可得到点M的坐标；
    （3）①首先证明△BEC≌△AFB，依据全等三角形的性质可知：AF=BE，∠CBE=∠BAF，然后通过等量代换可得到∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，最后依据三角形的内角和定理可求得∠APB；
    ②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为直径的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．先求得⊙M的半径，然后依据弧长公式可求得点P运动的路径；当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．

    解答 解：（1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{49a+7b+\frac{7}{4}=0}\\{a+b+\frac{7}{4}=0}\end{array}\right.$，
    解得：a=$\frac{1}{4}$，b=-2．
    ∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x2-2x+$\frac{7}{4}$．

    （2）存在点M，使得S△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$S△ABC．
    理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．

    ∵△ABC为等边三角形，
    ∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．
    ∵CK⊥AB，
    ∴KA=BK=3，∠ACK=30°．
    ∴CK=3$\sqrt{3}$．
    ∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CK=$\frac{1}{2}$×6×3=9$\sqrt{3}$．
    ∴S△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$×9$\sqrt{3}$=12．
    设M（a，$\frac{1}{4}$a2-2a+$\frac{7}{4}$）．
    ∴$\frac{1}{2}$AB•|y|=12，即$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{1}{4}$a2-2a+$\frac{7}{4}$）=12，
    解得：a1=9，a2=-1．
    ∴点M的坐标为（9，4）或（-1，4）．

    （3）①结论：AF=BE，∠APB=120°．
    ∵△ABC为等边三角形，
    ∴BC=AB，∠C=∠ABF．
    ∵在△BEC和△AFB中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠C=∠ABF}\\{CE=BF}\end{array}\right.$，
    ∴△BEC≌△AFB．
    ∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．
    ∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．
    ∴∠APB=180°-60°=120°．
    ②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为直径的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．

    ∵∠APB=120°，
    ∴∠N=60°．
    ∴∠AMB=120°．
    又∵ME⊥AB，垂足为E，
    ∴AE=BE=3，∠AME=60°．
    ∴AM=2$\sqrt{3}$．
    ∴点P运动的路径=$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．
    当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，如图所示：过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．

    ∵AC=6，∠CAK=60°，
    ∴KC=3$\sqrt{3}$．
    ∴点P运动的路径为3$\sqrt{3}$．
    综上所述，点P运动的路径为3$\sqrt{3}$或$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．

    点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、扇形的弧长公式，判断出点P运动的轨迹生成的图形的形状是解题的关键．

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