A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
分析 由矩形的性质及平移的性质易得∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1,结论显然;②由所给条件可证明△AC1B是等边三角形,ABC1D1自然是菱形;易得△AC1F∽△ACD,根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式.
解答 解:∵四边形ABCD为矩形,
∴BC=AD,BC∥AD,
∴∠DAC=∠ACB,
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,
∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1,
在△A1AD1与△CC1B中,$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\\{∠{A}_{1}=∠ACB}\\{{A}_{1}{D}_{1}=CB}\end{array}\right.$
∴△A1AD≌△CC1B,故①正确.
②∵∠ACB=30°,
∴∠CAB=60°,
∵AB=1,
∴AC=2,
∵x=1,
∴AC1=1,
∴△AC1B是等边三角形,
∴AB=D1C1,
又AB∥BC1,
∴四边形ABC1D1是菱形,
∴BD1⊥AC1.
又∵DD1∥AC1,
∴BD1⊥DD1.
∴△BDD1为直角三角形,故②正确.
∵四边形ABC1D1是菱形,
∴四边形ABC1D1是平行四边形,故③正确.
如图所示:
∵C1D1∥CD,
∴△AC1F∽△ACD,
∴$\frac{{S}_{△A{C}_{1}F}}{{S}_{△ACD}}$=($\frac{2-x}{2}$)2,
∴S=$\frac{1}{2}$DC•AD•($\frac{2-x}{2}$)2=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$•($\frac{2-x}{2}$)2=$\frac{\sqrt{3}}{8}$(2-x)2.故④错误.
故选:C.
点评 本题考查了矩形的性质、平移变换、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点,综合性较强,难度中等.清楚矩形、菱形等基本几何图形的性质以及平移变换的特征是解决本题的关键.
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