Question

24、如图，在△ABC中，∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BE、CF相交于点D．
（1）求∠FDE的度数；（2）求证：FD=ED．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和定理，得出∠EBC+∠FCB=60°，在△DBC中，即可求出∠BDC=120°，根据对顶角相等即可求出∠FDE的度数，
（2）作辅助线在CB上截取CG=CE，可证出△CED≌△CGD（SAS），即可得出∠EDC=∠GDC，ED=GD，再根据（1）中的条件可证出△BFD≌△BGD，即可得出FD=ED．

解答：（1）解：由三角形内角和定理，在△ABC中，
2∠EBC+2∠FCB+60°=180°，
解得∠EBC+∠FCB=60°，
在△DBC中，∠BDC=180°-（∠EBC+∠FCB）=180°-60°=120°，
∴∠FDE=∠BDC=120°，
（2）证明：在CB上截取CG=CE，由∠ECD=∠GCD，DC=DC，
得：△CED≌△CGD（SAS），
∴∠EDC=∠GDC，ED=GD，
由（1）知∠BDG+∠GDC=120°，
又∵∠BDG+2∠GDC=180°，
解得：∠BDG=∠GDC=∠EDC=60°
在△BFD和△BGD中，∠FBD=∠GBD，∠FDB=∠GDB=60°，BD=BD，
∴△BFD≌△BGD，
∴FD=DG，
∴FD=ED．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及全等三角形的性质，难度适中．