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已知二次函数y=x2-(m2-4m+
5
2
)x-2(m2-4m+
9
2
)
的图象与X轴的交点为A、B(点B在点A的右边),与y轴的交点为C.
(1)若△ABC为Rt△,求m的值;
(2)在△ABC中;若AC=BC,求∠ACB的正弦值;
(3)设△ABC的面积为S,求当m为何值时,S有最小值,并求这个最小值.
分析:(1)令抛物线的解析式中y=0,可求出A、B点的坐标;若△ABC为直角三角形,则∠ACB必为直角,根据射影定理,即可求出m的值;
(2)若AC=BC,则O是AB的中点,由此可确定A、B、C的坐标,进而可根据△ABC面积的不同表示方法求出∠ACB的正弦值;
(3)根据A、B、C三点的坐标,可求出关于S、m的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出S的最小值.
解答:解:设k=m2-4m+
5
2

则k+2=m2-4m+
9
2
,k=(m-2)2-
3
2
≥-
3
2

∴y=x2-kx-2(k+2)=(x+2)(x-k-2),
∴抛物线与x轴的两个交点为(-2,0),(k+2,0),
∵k≥-
3
2
,k+2≥
1
2
>-2,
∴A(-2,0),B(k+2,0),C(0,-2k-4),
∴OA=2,OB=k+2,OC=2k+4,

(1)由于A、B位于原点两侧,若△ABC为Rt△,且OC⊥AB,则有:
OC2=OA•OB,
即:(2k+4)2=2(k+2),
解得k=-
3
2

∴m2-4m+
5
2
=-
3
2

即m2-4m+4=0,
解得m=2;

(2)若AC=BC,则△ABC是等腰三角形,由于OC⊥AB,则OA=OB,
抛物线的对称轴与y轴重合,此时k=0,B(2,0),C(0,-4),
∴AC2=BC2=20;
∵S△ABC=
1
2
AC•sinACB•BC=
1
2
AB•OC,
∴sin∠ACB=
AB•OC
AC•BC
=
16
20
=
4
5


(3)∵S=
1
2
AB•OC=
1
2
(k+4)(2k+4)=(k+4)(k+2)=k2+6k+8=(k+3)2-1,
∴当k>-3时,S随k的增大而增大,
由于k≥-
3
2
,∴当k=-
3
2
时,S取最小值,
∴m2-4m+
5
2
=-
3
2
,即m=2时,S取最小值,且最小值为S=(3-
3
2
2-1=
5
4
点评:此题是典型的二次函数综合题;需要注意的几点是:
①由于m的表达式较大,且含有二次项,若不用k来设m的表达式,本题的计算量将会很大;
②在(2)题中,若不能联想到三角形面积的另一种计算方法:S=
1
2
ab•sinC,解题过程将会很复杂;
③在(3)题中,一定要注意k的取值范围,以免造成错解.
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3
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5
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5
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