Question

14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$交直线y=kx（k＞0）于点B，平行于y轴的直线x=7交它们于点A、C，且AC=15．
（1）求k的值；
（2）∠OBC的度数；
（3）若正方形的四个顶点恰好在射线AB、射线CB及线段AC上，请直接写出射线AB上的正方形顶点的坐标．（不需要写出计算过程）．

Answer 1

分析 （1）把x=7代入直线解析式求出y的值，确定出AC的长，即可求得A的坐标，
（2）把A坐标代入y=kx中求出k的值，根据两向量乘积为-1得到两直线垂直，即可得出所求角的度数；
（3）联立两直线方程求出B坐标，利用勾股定理表示出OB，AB，BC，设正方形边长为x，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFE与三角形ABC相似，由相似得比例求出x的值，作FG垂直于x轴，得到三角形FOG与三角形AOC相似，由相似得比例求出FG的长，确定出F坐标即可．

解答 解：（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，中令x=7，则y=-$\frac{1}{2}$×7+$\frac{5}{2}$=-1，
∵AC=15，
∴A的纵坐标是14，
则A的坐标是（7，14），
（2）把A（7，14）代入y=kx得：7k=14，
解得：k=2，
∵2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
∴直线AB和BC垂直，
∴∠OBC=90°；
（3）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴B的坐标是（1，2），
根据勾股定理得：0B=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{（7-1）^{2}+（14-2）^{2}}$=6$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{（7-1）^{2}+（2+1）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
设正方形BDEF的边长是x，
∵∠AFE=∠ABC=90°，∠FAE=∠BAC，
∴△AFE∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AB}$，即$\frac{x}{3\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}-x}{6\sqrt{5}}$，
解得：x=2$\sqrt{5}$，
∴OF=$\sqrt{5}$+2$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$，OA=$\sqrt{{7}^{2}+1{4}^{2}}$=7$\sqrt{5}$，
作FG⊥x轴于点G，
∵FG∥AH，
∴△FOG∽△AOH，
∴$\frac{FG}{AH}$=$\frac{OF}{OA}$=$\frac{3\sqrt{5}}{7\sqrt{5}}$=$\frac{3}{7}$，
∴FG=$\frac{3}{7}$AH=$\frac{3}{7}$×14=6，即F的纵坐标是6，
把y=6代入y=2x得：x=3，
则F的坐标是（3，6）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数的解析式，直线互相垂直的条件，以及相似三角形的判定与性质，求得正方形BDEF的边长是关键．