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11.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc<0;②2a+b<0;③b2-4ac=0;④8a+c<0;⑤a:b:c=-1:2:3,其中正确的结论有①④⑤.

分析 根据图象的开口可确定a,结合对称轴可确定b,根据图象与y轴的交点位置可确定c,根据图象与x轴的交点个数可确定△;根据当x=-2时,y<0;抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),即可得出结论.

解答 解:①∵开口向下
∴a<0
∵与y轴交于正半轴
∴c>0
∵对称轴在y轴右侧
∴b>0
∴abc<0,故①正确;
∵二次函数的对称轴是直线x=1,即二次函数的顶点的横坐标为x=-$\frac{b}{2a}$=1,
∴2a+b=0,故②错误;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,故③错误;
∵b=-2a,
∴可将抛物线的解析式化为:y=ax2-2ax+c(a≠0);
由函数的图象知:当x=-2时,y<0;即4a-(-4a)+c=8a+c<0,故④正确;
∵二次函数的图象和x轴的一个交点是(-1,0),对称轴是直线x=1,
∴另一个交点的坐标是(3,0),
∴设y=ax2+bx+c=a(x-3)(x+1)=ax2-2ax-3a,
即a=a,b=-2a,c=-3a,
∴a:b:c=a:(-2a):(-3a)=-1:2:3,故⑤正确;
故答案为:①④⑤.

点评 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.

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