Question

如图，AB是⊙O的直径，AF是弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CB=2，CE=4，求线段AC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE，通过证明OE∥AD得出结论OE⊥CD，从而证明CD是⊙0的切线；
（2）在Rt△OCE中利用勾股定理求出半径，再求出AC的长．

解答：（1）证明：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠CAE=∠OEA，
∵∠CAE=∠EAD，
∴∠OEA=∠EAD，
∴OE∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD，
∴CD是⊙0的切线．

（2）解：设⊙O半径为r，
在Rt△OCE中，（r+2）²=r²+4²，
解得r=3，
∴AC=8．

点评：本题考查了平行线的判定与性质和勾股定理，作出辅助线OE是解题的关键．