Question

16．半径为1的圆的外切直角三角形的面积的最小值为（　　）

• A． 3-$2\sqrt{2}$
• B． 3+$2\sqrt{2}$
• C． 6-4$\sqrt{2}$
• D． 6+4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图⊙O是Rt△ABC的内切圆，E、F、G是切点，连接OE、OF、OG，则四边形BEOF是正方形，边长为1，设AB=m，BC=n．△ABC的面积为S．易知AC=（m-1）+（n-1）=m+n-2，S=$\frac{1}{2}$（m+n+m+n-2）=m+n-1，因为（$\sqrt{m}$-$\sqrt{n}$）²≥0，所以m+n≥2$\sqrt{mn}$，由S=$\frac{1}{2}$mn，推出S+1≥2$\sqrt{2S}$，因为S+1＞0，所以（S+1）²≥8S，所以S²-6S+1≥0，解得S≥3+2$\sqrt{2}$或S≤3-2$\sqrt{2}$，由此即可解决问题．

解答 解：如图⊙O是Rt△ABC的内切圆，E、F、G是切点，连接OE、OF、OG，
则四边形BEOF是正方形，边长为1，
设AB=m，BC=n．△ABC的面积为S．

则易知AC=（m-1）+（n-1）=m+n-2，S=$\frac{1}{2}$（m+n+m+n-2）=m+n-1，
∵（$\sqrt{m}$-$\sqrt{n}$）²≥0，
∴m+n≥2$\sqrt{mn}$，∵S=$\frac{1}{2}$mn，
∴S+1≥2$\sqrt{2S}$，
∵S+1＞0，
∴（S+1）²≥8S，
∴S²-6S+1≥0，
∴S≥3+2$\sqrt{2}$或S≤3-2$\sqrt{2}$，
∵S＞0，
∴S≥3+2$\sqrt{2}$，
∴S的最小值为3+2$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查三角形的内心、完全平方公式、三角形的面积公式、一元二次不等式等知识，解题的关键是学会利用基本不等式解决最值问题，属于竞赛类题目．