Question

2．已知二次函数y=x²+2bx+c（b、c为常数）．
（Ⅰ）当b=1，c=-3时，求二次函数在-2≤x≤2上的最小值；
（Ⅱ）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；
（Ⅲ）当c=4b²时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把b=1，c=-3代入函数解析式，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）根据当c=3时，分情况讨论求出二次函数最小值；
（Ⅲ）当c=4b²时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可

解答 解：（Ⅰ）当b=1，c=-3时，二次函数解析式为y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴x=-1在-2≤x≤2的范围内，此时函数取得最小值为-4，
（Ⅱ）y=x²+2bx+3，的对称轴为x=-b，
①若-b＜0，即b＞0时，当x=0时，y有最小值为3，
②若0≤b≤4，即：-4≤b≤0时，当x=-b时，y有最小值-b²+3；
③若-b＞4，即b＜-4时，当x=-4时，y有最小值为8b+19，
（Ⅲ）当c=4b²时，二次函数的解析式为y=x²+2bx+4b²，它的开口向上，对称轴为x=-b的抛物线，
①若-b＜2b，即b＞0时，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大，
∴当x=2b时，y=（2b）²+2b×2b+（2b）²=12b²为最小值，
∴12b²=21，
∴b=$\frac{\sqrt{7}}{2}$或b=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$（舍）
∴二次函数的解析式为y=x²+$\sqrt{7}$x+7，
②若2b≤-b≤2b+3，即-1≤b≤0，
当x=-b时，代入y=x²+2bx+4b²，得y最小值为3b²，
∴3b²=21
∴b=-$\sqrt{7}$（舍）或b=$\sqrt{7}$（舍），
③若-b＞2b+3，即b＜-1，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小，
∴当x=2b+3时，代入二次函数的解析式为y=x²+2bx+4b²中，得y最小值为12b²+18b+9，
∴12b²+18b+9=21，
∴b=-2或b=$\frac{1}{2}$（舍），
∴二次函数的解析式为y=x²-4x+16．
综上所述，b=$\frac{\sqrt{7}}{2}$或b=-2，此时二次函数的解析式为y=x²+$\sqrt{7}$x+7或y=x²-4x+16

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．