【题目】在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.
(1)当n=1时,如果a=﹣1,试求b的值;
(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O. ①试求当n=3时a的值;
②直接写出a关于n的关系式.
【答案】
(1)解:∵抛物线过矩形顶点B、C,其中C(0,1),B(n,1)
∴当n=1时,抛物线对称轴为直线x= ,
∴ ,
∵a=﹣1,
∴b=1,
答:b的值是1
(2)解:设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+1,
由对称性可知抛物线经过点B(2,1)和点M( ,2),
则 ,
解得
∴所求抛物线解析式为 ,
答:此时抛物线的解析式是
(3)解:①当n=3时,OC=1,BC=3,
设所求抛物线解析式为y=ax2+bx,
过C作CD⊥OB于点D,
则Rt△OCD∽Rt△OBC,
∴ ,
设OD=t,则CD=3t,
∵OD2+CD2=OC2,
∴(3t)2+t2=12,
∴ ,
∴C( , ),
又∵B( ,0),
∴把B、C坐标代入抛物线解析式,得 ,
解得:a=﹣ ,
a关于n的关系式是
【解析】(1)根据已知得到抛物线对称轴为直线x= ,代入即可求出b;(2)设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+1,由对称性可知抛物线经过点B(2,1)和点M( ,2),把B、M的坐标代入得到方程组 ,求出a、b的值即可得到抛物线解析式;(3)①当n=3时,OC=1,BC=3,设所求抛物线解析式为y=ax2+bx,过C作CD⊥OB于点D,则Rt△OCD∽Rt△OBC,得出 ,设OD=t,则CD=3t,根据勾股定理OD2+CD2=OC2 , 求出t,得出C的坐标,把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组,求出a即可;②根据(1)、(2)①总结得到答案.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用解二元一次方程组和勾股定理的概念的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握二元一次方程组:①代入消元法;②加减消元法;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.
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【题目】在一自助夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°方向的C处,他先沿正东方向走了200m到达B地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C(如图),那么,由此可知,B、C两地相距 m.
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【题目】一项工程,甲,乙两公司合做,12天可以完成,共需付施工费102000元;如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.
(1)甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天?
(2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少?
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【题目】王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山,各栽100棵杨梅树,成活98%.现已挂果,经济效益初步显现,为了分析收成情况,他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅,每棵的产量如折线统计图所示.
(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数,并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和;
(2)试通过计算说明,哪个山上的杨梅产量较稳定?
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【题目】如果∠A是锐角,则下列结论正确个数为( )个.
①=sinA-1;②sinA+cosA>1;③tanA>sinA;④cosA=sin(90°﹣∠A)
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】已知函数y =(2m+1) x+ m-3
(1) 若函数图象经过原点,求m的值.
(2) 若函数图象在y轴的交点的纵坐标为-2,求m的值.
(3)若函数的图象平行直线y=-3x–3,求m的值.
(4)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围.
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【题目】直线 y=kx+b 与直线交点的纵坐标为 5,而与直线 y=3x﹣9 的交点的横 坐标也是 5,则直线 y=kx+b 与两坐标轴围成的三角形面积为( )
A. B. C. 1 D.
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【题目】已知方程:①y=4x+2,②2x-3y=4.
(1)根据方程①填写下表:
x | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |
y |
(2)根据方程②填写下表:
x | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |
y |
(3)根据以上两表中的数据,求方程组的解.
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