Question

20．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别为垂足．
（1）若CF=3，CE=4，求AP，AD的长；
（2）若BD=2，求四边形PECF的周长．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质，可得PE=DE，根据矩形的性质，可得CF与PE的关系，根据线段的和差，可得CD的长；根据矩形的性质，可得PC与EF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得AP与PC的关系，根据勾股定理，可得答案；
（2）根据勾股定理，可得BD与BD的关系，根据等腰直角三角形的性质，PE=DE，PF=BF，根据等量代换，可得答案．

解答 解：（1）由P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，
得∠PED=∠PFB=90°，∠PDE=∠PBF=45°，四边形PFCE是矩形．
∴DE=PE=CF=3，
∴AD=CD=CE+DE=3+4=7，
由P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，
得四边形PFCE是矩形，
∴PC=FE．
在△ABP和△CBP中$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC．
AP=PC=$\sqrt{C{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
（2）由勾股定理，得
BD=$\sqrt{2}$CD．BD=2，
∴CD=$\sqrt{2}$．
P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，
∴PE=DE，PF=BF．
四边形PECF的周长PE+PF+CF+CE=BF+FC+CE+DE=BC+CD=$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；（2）利用正方形的性质等腰直角三角形的性质，等量代换．