Question

【题目】如图，线段 AB＝4，M 为 AB 的中点，动点 P 到点 M 的距离是 1，连接 PB，线段

PB 绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PC，连接 AC，则线段 AC 长度的最大值是_________．

Answer 1

【答案】3

【解析】

以O为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），根据题意动点 P 到点 M 的距离是 1，在△0PF中利用勾股定理得x2+y2=1．然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC=PF=y，FB=EP=2-x，从而得到点C（x+y，y+2-x），最后依据两点间的距离公式可求得AC=，最后，依据当y=1时，AC有最大值求解即可．

解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．

∵AB=4，O为AB的中点，
∴A（-2，0），B（2，0）．
设点P的坐标为（x，y），则x2+y2=1．
∵∠EPC+∠BPF=90°，∠EPC+∠ECP=90°，
∴∠ECP=∠FPB．
由旋转的性质可知：PC=PB．
在△ECP和△FPB中，

，
∴△ECP≌△FPB．
∴EC=PF=y，FB=EP=2-x．
∴C（x+y，y+2-x）．
∵AB=4，O为AB的中点，
∴AC==

∵x2+y2=1，
∴AC=

∵-1≤y≤1，
∴当y=1时，AC有最大值，AC的最大值为=3．
故答案为：3．