Question

【题目】如图，在等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持．连接、、．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②长度的最小值为4；③四边形的面积保持不变；④面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

连接CF,根据全等三角形判定和性质可得①正确；由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，可得②错误；由△ADF≌△CEF，得S△CEF=S△ADF,S四边形CEFD=S△AFC，得③正确；当△CEF面积最大时，由②③知，此时△DEF的面积最小，此时S△CEF=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF，可得④正确.

连接CF；

∵△ABC是等腰直角三角形，是边上的中点

∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90°，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形.

因此①正确.

由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；

即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4.

∴DE==DF=4；

因此②错误.

∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF

∴S四边形CEFD=S△AFC，

因此③正确.

当△CEF面积最大时，由②③知，此时△DEF的面积最小.

此时S△CEF=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8；

因此④正确.

故选：C.