Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，的直角项点在轴的正半轴上，顶点的纵坐标为，,.点是斜边上的一个动点，则的周长的最小值为___________.

Answer 1

【答案】+2

【解析】

由题意AB=3，则中，AB=OB，可得∠AOB=30°，根据勾股定理求出OA，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．

解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，

∵A、D关于OB对称，

∴OB垂直平分AD，

∴DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵顶点B的纵坐标为3， ，
∴AB=3，OA= =3，∠BOA=30°，∠B=60°，

由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，
即：×3×3=×6×AM
解得：AM=，
∴AD=2×=3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴DN∥AB，
∴∠NDA=∠BAM=30°，
∴AN=AD=，
由勾股定理得：DN==，
∵OC=AC，
∴OC=，AC=2，
∴CN=AC-AN=2-=，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC===，
即PA+PC的最小值是，
∴△PAC周长的最小值为：+2．
故答案为：+2．